Definição de limite

Limite
Definimos como sendo o número L (caso exista) tal que para todo o ε>0 (tão pequeno quanto queiramos) existe um δ > 0 (suficientemente pequeno) tal que, se (x-c)<δ e x ≠ c, então |f(x) - L|<ε.








Limite no infinito

Definimos como sendo o número L (caso exista) tal que para todo ε>0 (tão pequeno quanto queiramos) existe N (suficientemente grande) tal que se x > N então |f(x)-L|<ε.


Exercício:
Para a função seguinte, encontre um valor positivo δ para o ε dado, de modo a que o gráfico da função para o intervalo a - δ < x < a + δ fique "dentro da janela" b - ε < y < b + ε.

f(x) = 2x+3
ε = 0,2
a = 0
b = 3


Resolução:
Para todo o ε > 0, existe um δ > 0 : 0 < |x-a| < δ => |f(x) - b| < ε

|x - 0| < δ
|x| < δ

|2x+3 - b| < ε
|2x+3-3| < 0,2
|2x| < 0,2
2|x| < 0,2
|x| < 0,1

Logo, δ = 0,1

Continuidade de uma função

Para se verificar se uma função f(x) é contínua no ponto x=a tem de se obedecer a alguns critérios:

• a tem de pertencer ao domínio da função f(x);
• , logo existe;
• 

- A função f diz-se contínua no intervalo ]a,b[ se for contínua em todos os pontos desse intervalo;

- A função f diz-se contínua no intervalo [a,b[ se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a,b[ e contínua à direita do ponto a;
- A função f diz-se contínua no intervalo ]a,b] se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a,b[ e contínua à esquerda do ponto b;
- A função f diz-se contínua no intervalo [a,b] se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a,b[ e contínua à direita do ponto a e à esquerda de b.


Exercício:



1. Com base no gráfico, para quais dos valores de x existe limite? x= -2, 0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11.
R: Existe limite para x= -2, 0, 4, 8 e 10

2. Tendo em conta os valores de x da alínea anterior, para quais estão reunidas as três condições para que a função seja contínua nesse ponto?
R: A função é contínua para x= 0 e x= 4.

Nota: este exercício engloba limites laterais (pergunta 1) e continuidade de uma função num ponto (pergunta 2).

Assimptotas

Assimptotas verticais
Uma recta de equação x=a é uma assimptota vertical do gráfico de uma função f, se algum dos limites se verificar.

Assimptotas não verticais

• Assimptotas oblíquas

Uma recta de equação y=mx+b é uma assimptota oblíqua do gráfico de uma função f, se algum dos limites se verificar.




Assimptota Horizontal (m = 0)
Uma recta de equação y=b é uma assimptota horizontal do gráfico de uma função f, se algum dos limites se verificar.

Paridade de uma função

Função par

• f(x) = f(-x) para todo o x no seu domínio
• O gráfico é simétrico em relação ao eixo y

Exemplo: x²

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)

Função ímpar

• Se f satisfizer f(-x) = -f(x) para todo x em seu domínio
• O gráfico é simétrico em relação à origem

Exemplo: x³

f(-x)=(-x)³= -x³ =-f(x)

Novas funções a partir de antigas

• Deslocamentos verticais e horizontais:

y=f(x)+c - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para cima.

y=f(x)-c - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para baixo.

y=f(x-c) - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para a direita.

y=f(x+c) - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para a esquerda.

• Reflexões e esticamentos horizontais e verticais

y=cf(x) - esticar verticalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=f(x)/c - comprimir verticalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=f(cx) - comprimir horizontalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=f(x/c) - esticar horizontalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=-f(x) - refletir em torno do eixo x o gráfico de f(x).

y=f(-x) - refletir em torno do eixo y o gráfico de f(x).

Função

Função, é uma relação entre dois conjuntos, objectos (x) e imagens (y), onde a cada elemento do primeiro conjunto corresponde um e um só elemento do segundo conjunto.


Alguns tipos de funções:

Função sobrejetora: o conjunto de chegada coincide com o contradomínio da função.

Função injetora: quaisquer que sejam x₁ e x₂ pertencentes ao domínio da função, se x₁ é diferente de x₂ implica que f(x₁) é diferente de f(x₂).
Regra para testar a injetividade: uma função e injetora se uma recta horizontal cortar o gráfico em apenas um ponto.

Função bijetora: é uma função injetora e sobrejetora.

Função inversa: f^-1(x)

• Para a construção analítica da inversa de uma função devem seguir-se os seguintes passos:

- Igualar a função f a y;

- Isolar x;

- Trocar x por y.

• O domínio da directa é o contradomínio da inversa.
  
• Tem de ser bijetora.
• Tem de se restringir o domínio da função directa (por vezes).
  

• f^-1(f^-1(x)) = f(x)

• f^-1(f(x)) = x

• f(f^-1(x)) = x