Problema de Cauchy

Dada uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial fixada, o problema de Cauchy consiste em encontrar uma função y=φ(x), que satisfaça a EDO dada e cumpra uma condição inicial.

Exercício:

Equações Diferenciais

Classificação de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):

• Ordem: é dada pela ordem da maior derivada



• Grau: é dado pelo grau da derivada de maior ordem



Solução de uma EDO: é a função ou funções que satisfaz a equação diferencial:



Interpretação geométrica de uma EDO:

• Campo de direcções

Geometricamente, o conjunto de solução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem define um conjunto de curvas com traço no plano x - y.

Essas curvas designam-se por curvas integrais da equação diferencial. Cada uma das curvas integrais é solução de um determinado problema do valor inicial.

Para cada ponto (x; y) a equação diferencial define y', isto é, para cada ponto (x; y) conhecemos o valor do declive da recta tangente ao traço da curva integral que passa nesse ponto. Dizemos que uma equação diferencial y' = f(x; y) gera um campo de direcções no plano (x; y). Se em cada ponto (x; y) representarmos a recta com declive f(x; y), obtemos uma representação do campo de direcções associado à equação diferencial. As soluções da equação diferencial são curvas, cujas tangentes em cada ponto são definidas por esses declives.

Variáveis separáveis:




Exercícios:

1. Dada a seguinte taxa de crescimento, determine a taxa específica de crescimento.

Exercícios sobre integração

1. Na função abaixo está representado o gráfico da função f(x).


Usando o conceito de integral, escreva uma expressão que represente a área acima indicada.

Resolução:



2. Determine os seguintes integrais

2.1.





2.2.

Valor médio de uma função

Exercício:

1. Calcular o valor médio da função f(x) = x no intervalo [0,2]

Resolução:

Integral Indefinido

Expressão do integral definido:

• Enquanto que é um número, é uma família de funções.

Propriedades:

Integração por substituição:

Integração por partes:

Integração por fracções parciais:

Integral Definido

Área de superfícies planas:

Considere o problema de calcular a área da parte amarela do gráfico da função f (primeiro gráfico).

Podemos aproximar essa área - A - utilizando rectângulos: calcular a área por defeito (segundo gráfico) - Ai - ou calcular a área por excesso (terceiro gráfico) - As.

Logo, Ai < A < As.

Soma de Riemann:

Seja f uma função definida no intervalo [a,b]. O somatório abaixo descrito designa-se por Soma de Reimann

A Soma de Reimann pode ser usada para aproximar a área entre o gráfico de uma função e o eixo Ox no intervalo dado.

Definição de Integral Definido:

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. Divida o intervalo em n subintervalos [Xi, Xi+1], sendo que X0 = a e Xn = b. Considere que ∆Xi = Xi+1 - Xi é o comprimento desse subintervalo. Tome qualquer valor Xi dentro desse subintervalo. Chamamos de integral definida de f de a até b o valor L tal que

Para simplificar a escrita utiliza-se

• Dizemos que uma função é integrável (segundo Riemann) em [a,b] se
  

  existe.

• O cálculo de uma área fica assim reduzido ao cálculo de uma primitiva.

A =

Propriedades:

Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f é contínua em [a,b], então , sendo F uma antiderivada de f. Isto é, F'(x) = f(x).

É comum representar F(b) - F(a) por

• O Teorema Fundamental do Cálculo permite-nos calcular integrais definifos de uma maneira bem conveniente.
  

Antiderivada ou Integral

O problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida.

Definição: Uma função é denominada antiderivada ou primitiva de f sobre um intervalo I se F'(x)=f(x) para todo o x em I.

Teorema: Se F for uma antiderivada de f num intervalo I, então a antiderivada mais geral f em I é F(x)+C, onde C é uma constante arbitrária.

• Integrar é o contrário de derivar.
• A constante C só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C.

Tabela de fórmulas de Antiderivação:

Polinómio de Taylor

O Teorema de Taylor estabelece que (sob certas condições) uma função pode ser aproximada (na proximidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo que o erro que se comete ao substituir a função pelo polinómio seja pequeno.

• A principal propriedade deste polinómio é que ele passa pelo ponto (a; f(a)) e possui as mesmas derivadas até ordem n que a função f.
• O polinómio de Taylor de f desenvolvido numa vizinhaça de x=a aproxima a função nesta vizinhança.
  

Exercício:
1. Determine o polinómio de Taylor de grau 2 da função em torno do ponto x = 1.

Resolução:



A função pode ser simplificada.

Teorema do valor médio e teorema de Rolle

Teorema do valor médio:

• f é contínua em [a,b]
• f é diferenciável em ]a,b[
  

Logo, existe um número c em ]a,b[ tal que .

Uma vez que f'(c) é a inclinação da recta tangente no ponto (c,f(c)), este teorema diz que há no mínimo ponto p (c, f(c)) sobre o gráfico onde a inclinação da recta tangente é igual à inclinação da recta secante AB.
Há um ponto p onde a recta tangente é paralela á recta secante AB.




Teorema de Rolle:

• f é contínua em [a,b]
• f é diferenciável em ]a,b[
• f(a) = f(b)
  

Logo, existe um número c em ]a,b[ tal que f'(c) = 0.

Regra de Cauchy ou Regra de L'Hôpital

Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g'(x) ≠ 0 próximo de a (excepto possivelmente em a). Suponha que:



Temos uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞.

Teste da 1ª e 2ª derivadas

Teste da 1º derivada:

• Monotonia de uma função:

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e diferenciável no intervalo ]a,b[.

1. Se f ′(x) > 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é estritamente crescente em ]a,b[;
2. Se f ′(x) < 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é estritamente decrescente em ]a,b[;
3. Se f ′(x) = 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é constante em ]a,b[.

• Extremos de uma função:

1. Uma função f tem um máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x) para todo o x pertencente ao domínio de f.
2. Uma função f tem um mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo o x pertencente ao domínio de f.
3. Uma função f tem um máximo relativo em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
4. Uma função f tem um mínimo relativo em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver próximo de c.

Como obter os extremos e estudar a monotonia de uma função:

1. Calcular a derivada da função,
2. Calcular os zeros da derivada,
3. Construir um quadro de sinais.

a - minimizante

b - maximizante

f(a) - mínimo

f(b) - máximo

Teste da 2º derivada:

• Concavidade do gráfico de uma função

1. Se f''(x) > 0 para todo o x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I.
2. Se f''(x) < 0 para todo o x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.

p.i. - ponto de inflexão

Suponha que f'' seja contínua na proximidade de c:

1. Se f'(x) = 0 e f''(x) > 0, então f tem um mínimo local em c.
2. Se f'(x) = 0 e f''(x) < 0, então f tem um máximo local em c.

Derivadas

Conceito:

• A derivada num ponto é igual ao declive da recta tangente à função nesse ponto.
• A derivada é também chamada de taxa de variação instantânea ou velocidade.

Para calcular a derivada por definição num ponto recorre-se ao cálculo de um dos limites:

Derivadas laterais:

Só existe derivada num ponto se f'(x0) = f'(x0-) = f'(x0+)

Notas:

• Uma função pode ser contínua num ponto e não ter derivada nesse ponto. A continuidade não garante a derivabilidade.
• Toda a função que seja derivável num ponto x0 do seu domínio é contínua nesse ponto.
• Sempre que o gráfico de uma função f tiver um "pico" num ponto não tem derivada nesse mesmo ponto, uma vez que existem várias rectas tangentes (ex: f(x) = |x|).
• Dizemos que uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio.
  
• f'(x) = dy/dx = f^(1)(x).

Regras de diferenciação: