Integral Definido

Área de superfícies planas:

Considere o problema de calcular a área da parte amarela do gráfico da função f (primeiro gráfico).

Podemos aproximar essa área - A - utilizando rectângulos: calcular a área por defeito (segundo gráfico) - Ai - ou calcular a área por excesso (terceiro gráfico) - As.

Logo, Ai < A < As.

Soma de Riemann:

Seja f uma função definida no intervalo [a,b]. O somatório abaixo descrito designa-se por Soma de Reimann

A Soma de Reimann pode ser usada para aproximar a área entre o gráfico de uma função e o eixo Ox no intervalo dado.

Definição de Integral Definido:

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. Divida o intervalo em n subintervalos [Xi, Xi+1], sendo que X0 = a e Xn = b. Considere que ∆Xi = Xi+1 - Xi é o comprimento desse subintervalo. Tome qualquer valor Xi dentro desse subintervalo. Chamamos de integral definida de f de a até b o valor L tal que

Para simplificar a escrita utiliza-se

• Dizemos que uma função é integrável (segundo Riemann) em [a,b] se
  

  existe.

• O cálculo de uma área fica assim reduzido ao cálculo de uma primitiva.

A =

Propriedades:

Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f é contínua em [a,b], então , sendo F uma antiderivada de f. Isto é, F'(x) = f(x).

É comum representar F(b) - F(a) por

• O Teorema Fundamental do Cálculo permite-nos calcular integrais definifos de uma maneira bem conveniente.