Limites notáveis

Muitas vezes na resolução de limites deparamo-nos com indeterminações. Estas são ultrapassadas recorrendo a limites notáveis. Muitas vezes estes não são directos mas é possível trabalhar a expressão do limite até chegarmos a um limite notável.




Exercícios:

Limites laterais

Existe limite à esquerda e à direita de a, como estes são iguais existe limite em a.



Existe limite à esquerda e à direita de a, como estes são diferentes não existe limite em a.

Teorema de Sandwich ou teorema do confronto

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I excepto possivelmente em x=a, a ∈ I.
Se para todo o x ∈ I \ {a} tivermos g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) e , então .


Exercício:

f(x) = xsen(10/x)
g(x) = |x|
h(x) = - |x|

Teorema de Bolzano ou do valor intermédio

Seja f uma função contínua no intervalo I = [a,b].
Se f(a)∈(a,b) tal que f(c) = L

∀ L ∈ (f(a),f(b)), ∃ c ∈ (a,b) : f(c)= L





Corolário:
Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto (a,b) tal que f(c)= 0, ou de outra forma, "se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e f(a)*f(b)<0, então existe pelo menos um zero de f num intervalo aberto (a,b).

Limites e crescimento exponencial

Este limite dá uma indeterminação do tipo ∞/∞ , logo, como x tende para ∞, permanecem apenas os termos de maior grau tanto no numerador como no denominador.
Como a função exponencial cresce mais rapidamente que a função quadrática, como se pode comprovar com o gráfico, o resultado do limite é +∞.

Definição de limite

Limite
Definimos como sendo o número L (caso exista) tal que para todo o ε>0 (tão pequeno quanto queiramos) existe um δ > 0 (suficientemente pequeno) tal que, se (x-c)<δ e x ≠ c, então |f(x) - L|<ε.








Limite no infinito

Definimos como sendo o número L (caso exista) tal que para todo ε>0 (tão pequeno quanto queiramos) existe N (suficientemente grande) tal que se x > N então |f(x)-L|<ε.


Exercício:
Para a função seguinte, encontre um valor positivo δ para o ε dado, de modo a que o gráfico da função para o intervalo a - δ < x < a + δ fique "dentro da janela" b - ε < y < b + ε.

f(x) = 2x+3
ε = 0,2
a = 0
b = 3


Resolução:
Para todo o ε > 0, existe um δ > 0 : 0 < |x-a| < δ => |f(x) - b| < ε

|x - 0| < δ
|x| < δ

|2x+3 - b| < ε
|2x+3-3| < 0,2
|2x| < 0,2
2|x| < 0,2
|x| < 0,1

Logo, δ = 0,1

Continuidade de uma função

Para se verificar se uma função f(x) é contínua no ponto x=a tem de se obedecer a alguns critérios:

• a tem de pertencer ao domínio da função f(x);
• , logo existe;
• 

- A função f diz-se contínua no intervalo ]a,b[ se for contínua em todos os pontos desse intervalo;

- A função f diz-se contínua no intervalo [a,b[ se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a,b[ e contínua à direita do ponto a;
- A função f diz-se contínua no intervalo ]a,b] se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a,b[ e contínua à esquerda do ponto b;
- A função f diz-se contínua no intervalo [a,b] se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a,b[ e contínua à direita do ponto a e à esquerda de b.


Exercício:



1. Com base no gráfico, para quais dos valores de x existe limite? x= -2, 0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11.
R: Existe limite para x= -2, 0, 4, 8 e 10

2. Tendo em conta os valores de x da alínea anterior, para quais estão reunidas as três condições para que a função seja contínua nesse ponto?
R: A função é contínua para x= 0 e x= 4.

Nota: este exercício engloba limites laterais (pergunta 1) e continuidade de uma função num ponto (pergunta 2).